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En numerosas oportunidades la naturaleza nos ofrece formas fractales e incluso diversos procesos de ésta pueden ser definidos a través de un modelo matemático fractal, que consiste en la iteración de un proceso geométrico fundamental de manera infinita dando lugar a una estructura compleja y complicada.
El matemático francés Gaston Maurice Julia, nacido el 3 de febrero de 1893, en Sidi Bel Abes, Argelia, inició y promovió los estudios que darían lugar a lo que conocemos hoy día como fractales. Julia propuso que se puede producir un conjunto imposible de dibujar, entre otras razones, por su longitud infinita, alcanzada a partir de la iteración de una función mediante la inducción matemática (1).
(1) Razonamiento que permite demostrar infinitas proposiciones. Proposición con un parámetro N que toma una infinidad de valores.
La Academia de Ciencias de Francia condecoró a Julia por su “Informe sobre la iteración de las funciones racionales” (Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles), difundido por una publicación francesa especializada llamada Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Sin embargo, hasta el momento de su muerte, el 19 de marzo de 1978, Julia no vio popularizados sus planteamientos aunque tres años antes eran rebautizados por el matemático de origen polaco Benoît Mandelbrot con el término de fractales, a partir del latín fractus, “quebrado”.
Hacia finales de los 70, Mandelbrot supo hacer uso del computador, que en el momento avanzaba hacia la masificación, y logró trazar los más representativos ejemplos de la matemática fractal, principalmente los conjuntos de Julia, producto de los estudios del matemático francés, y, por supuesto, el conjunto de Mandelbrot.
Orientando sus estudios hacia la interpretación de las formas de la naturaleza, Mandelbrot publica en 1982 el libro Fractal Geometry of Nature que sumado a los trabajos que realiza apoyado en las posibilidades de la informática lo convierte en el principal promotor de la matemática fractal.
En reconocimiento a sus trabajos y aportes a las ciencias, Mandelbrot recibe importantes premios y condecoraciones internacionales, entre ellos, la "Barnard Medal for Meritorious Service to Science", la "Franklin Medal", el premio "Alexander von Humboldt", la "Medalla Steindal" y la "Medalla Nevada".
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Los distintos tipos de fractales pueden asociarse en tres grandes categorías partiendo de la repetición de la función elemental de la cual se origina: sistema iterado de funciones, según relación de recurrencia y fractales aleatorios.
En el caso del sistema iterado existe un punto fijo geométrico. Entre los principales ejemplos de este tipo de fractales se encuentran el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski y la curva del dragón. El Conjunto de Mandelbrot y el Conjunto de Julia ejemplifican los fractales definidos por una relación de recurrencia mientras que los fractales aleatorios son representados por ejemplos similares a los sistemas iterados pero sin un punto fijo geométrico, por el contrario, son considerados estocásticos por funcionar sujeto al azar, en función de un sistema de probabilidades. Nubes y montañas son algunas de las figuras de la realidad que pueden representar un fractal aleatorio.
Características generales de un fractal
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Es perceptible la repetición de una unidad en diferentes escalas y con aparente arbitrariedad. |
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Irregularidad excesiva que aleja el conjunto de los términos geométricos tradicionales. |
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Puede dividirse en partes idénticas al total pero en tamaños reducidos. |
En el caso de los fractales aleatorios es probable que no se cumplan estas características.
| Algunos conjuntos de Julia |
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| Conjunto de Mandelbrot |
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Enlaces
www.fractales.org
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